QC - Controle a computação quântica com operadores unitários, interferência e emaranhamento

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Ótimo. Acabamos de terminar a Parte 2 no Qubit (Quantum bit - o principal componente da computação quântica). Então, como podemos controlá-lo? Ao contrário da computação clássica, não aplicamos operações lógicas ou aritmética comum em qubits. Não existe uma declaração "while" ou "declaração de ramificação" na computação quântica. Em vez disso, desenvolvemos operadores unitários para manipular qubits com o princípio de interferência na mecânica quântica. Parece chique, mas na verdade é muito direto. Examinaremos o conceito de operadores unitários. Como observação lateral, examinaremos sua relação com a Equação de Schrodinger, para que não projetemos um conceito contra a natureza. Por fim, examinamos o entrelaçamento, um fenômeno quântico místico.

Portões quânticos

Em computadores clássicos, aplicamos operadores lógicos básicos (NOT, NAND, XOR, AND, OR) em bits para criar operações complexas. Por exemplo, o seguinte é um somador de um bit com uma carga.

Os computadores quânticos têm operadores básicos totalmente diferentes, chamados portões quânticos. Não recompilamos um programa C ++ existente para execução em um computador quântico. Ambos têm operadores diferentes e a computação quântica requer algoritmos diferentes para tirar proveito deles. Na computação quântica, trata-se de manipular qubits, enredá-los e medi-los. Vamos voltar à esfera de Bloch. Conceitualmente, as operações de computação quântica manipulam Φ e θ da superposição para mover pontos ao longo da superfície da esfera unitária.

Em termos matemáticos, a superposição é manipulada com um operador linear U na forma de uma matriz.

Para um único qubit, o operador é simplesmente uma matriz 2 × 2.

Equação de Schrodinger (opcional)

A natureza parece ingênua simples! A matemática é apenas álgebra linear que aprendemos no ensino médio. Entre as medições, os estados são manipulados por operadores lineares usando multiplicação de matrizes. Quando medida, a superposição entra em colapso. Ironicamente, a linearidade é uma grande decepção para os fãs de ficção científica. Essa é uma propriedade geral da dinâmica quântica. Caso contrário, é possível viajar no tempo ou viajar mais rápido que a luz. Se começarmos com esse operador linear (um operador unitário para ser exato), podemos derivar a equação de Schrodinger, uma pedra angular da mecânica quântica na descrição de como os estados evoluem na mecânica quântica. Da perspectiva oposta, a equação de Schrodinger conclui a linearidade da natureza.

Fonte

Aqui, podemos reescrever a equação de Schrodinger como

onde H é um eremita. Ele demonstra como os estados são evoluídos na natureza linearmente.

A equação é linear, ou seja, se ψ1 e ψ2 são soluções válidas para a equação de Schrodinger,

sua combinação linear é a solução geral da equação.

Se | 0⟩ e | 1⟩ são estados possíveis de um sistema, sua combinação linear será seu estado geral - esse é o princípio da superposição na computação quântica.

Unitário

Nosso mundo físico não permite todos os operadores lineares possíveis. O operador deve ser unitário e atender aos seguintes requisitos.

onde U † é o conjugado complexo e transposto de U. Por exemplo:

Matematicamente, o operador unitário preserva as normas. Esta é uma propriedade maravilhosa para manter a probabilidade total igual a uma após a transformação do estado e manter a superposição na superfície da esfera unitária.

Se olharmos para a solução da Equação de Schrodinger abaixo, a natureza obedece à mesma regra unitária. H é um eremita (o conjugado complexo transposto de um eremita é igual a si mesmo). Multiplicar o operador com seu conjugado complexo transposto é igual à matriz de identidade.

A seguir, é apresentado um exemplo de H, em que existe um campo magnético uniforme E₀ na direção z.

A aplicação da operação unitária em | ψ⟩ resulta em uma rotação no eixo z.

Mas qual é o verdadeiro significado de unitário no mundo real? Isso significa que as operações são reversíveis. Para qualquer operação possível, existe outra que pode desfazer a ação. Assim como assistir a um filme, você pode reproduzi-lo para a frente e a natureza permite que seu colega U † reproduza o vídeo para trás. De fato, você pode não perceber se está reproduzindo o vídeo para frente ou para trás. Quase todas as leis físicas são reversíveis no tempo. As poucas exceções incluem a medição na dinâmica quântica e a segunda lei da termodinâmica. Ao projetar um algoritmo quântico, isso é muito importante. A operação OR exclusiva (XOR) em um computador clássico não é reversível. As informações são perdidas. Dada uma saída de 1, não podemos distinguir se a entrada original é (0, 1) ou (1, 0).

Na computação quântica, chamamos operadores de portas quânticas. Quando projetamos um portão quântico, garantimos que ele seja unitário, ou seja, haverá outro portão quântico que pode reverter o estado de volta ao seu original. Isso é importante já que

se um operador é unitário, ele pode ser implementado em um computador quântico.

Uma vez que a unidade é comprovada, os engenheiros não devem ter problemas para implementá-la, pelo menos teoricamente. Por exemplo, os computadores IBM Q, compostos por circuitos supercondutores, usam pulsos de microondas de diferentes frequências e duração para controlar qubits ao longo da superfície da esfera de Bloch.

Para atingir a unidade, às vezes produzimos parte da entrada para atender a esse requisito, como o abaixo, mesmo que pareça redundante.

Vamos ver uma das portas quânticas mais comuns, a porta Hadamard, na qual o operador linear é definido como a matriz a seguir.

ou na notação Dirac

Quando aplicamos o operador em um estado de rotação superior ou inferior, alteramos as superposições para:

Se medido, ambos têm a mesma chance de girar para cima ou para baixo. Se aplicarmos o portão novamente, ele voltará ao estado original.

Fonte

isto é, o conjugado transposto do Hadamard é o próprio portão de Hadamard.

Quando aplicamos UU †, ele restaura a entrada original.

Portanto, o portão Hadamard é unitário.

A computação quântica é baseada em interferência e emaranhamento. Mesmo que possamos entender matematicamente a computação quântica sem entender esses fenômenos, vamos demonstrá-la rapidamente.

Interferência

As ondas interferem entre si de forma construtiva ou destrutiva. Por exemplo, a saída pode ser ampliada ou achatada, dependendo da fase relativa das ondas de entrada.

Qual é o papel da interferência na computação quântica? Vamos realizar algumas experiências.

Interferômetro Mach Zehnder (fonte)

No primeiro experimento, preparamos todos os fótons de entrada para ter um estado de polarização | 0⟩. Esse fluxo de fótons polarizados é dividido uniformemente pela posição B do divisor de feixes a 45 °, ou seja, ele será dividido em duas luzes polarizadas ortogonalmente e sairá em caminhos separados. Então usamos espelhos para refletir os fótons em dois detectores separados e medir a intensidade. Do ponto de vista da mecânica clássica, os fótons se dividem em dois caminhos separados e atingem os detectores uniformemente.

No segundo experimento acima, colocamos outro divisor de feixe diante dos detectores. Por intuição, os separadores de feixe operam independentemente um do outro e dividem um fluxo de luz em duas partes. Ambos os detectores devem detectar metade dos feixes de luz. A probabilidade de um fóton atingir o detector D₀ usando o caminho 1 em vermelho é:

A chance total de um fóton atingir D₀ é 1/2 do caminho 1 ou 0. Portanto, ambos os detectores detectam metade dos fótons.

Mas isso não corresponde ao resultado experimental! Apenas D₀ detecta luz. Vamos modelar a transição de estado para um divisor de feixe com uma porta Hadamard. Portanto, para o primeiro experimento, o estado do fóton após o divisor é

Quando é medido, metade deles será | 0⟩ e metade deles será | 1⟩. Os feixes de luz são divididos igualmente em dois caminhos diferentes. Portanto, nosso portão Hadamard corresponderá ao cálculo clássico. Mas vamos ver o que aconteceu no segundo experimento. Como mostrado anteriormente, se prepararmos todos os fótons de entrada para serem | 0⟩ e os passarmos para dois portões Hadamard, todos os fótons serão | 0⟩ novamente. Portanto, quando é medido, apenas D₀ detecta o feixe de luz. Nenhum atingirá D₁ desde que não realizemos nenhuma medição antes dos dois detectores. As experiências confirmam que o cálculo quântico está correto, não o cálculo clássico. Vamos ver como a interferência desempenha um papel aqui no segundo portão Hadamard.

Como mostrado abaixo, componentes da mesma base de cálculo interferem construtiva ou destrutivamente entre si para produzir o resultado experimental correto.

Podemos preparar o feixe de fótons de entrada para | 1⟩ e refazer o cálculo novamente. O estado após o primeiro divisor é diferente do original por uma fase de π. Portanto, se medirmos agora, os dois experimentos farão as mesmas medições.

No entanto, ao aplicar o portão Hadamard novamente, um produzirá | 0⟩ e um produzirá | 1⟩. A interferência produz possibilidades complexas.

Deixe-me fazer mais um experimento divertido que tem uma implicação muito significativa na segurança cibernética.

Se colocarmos outro detector Dx após o primeiro divisor, o experimento mostra que os dois detectores detectarão metade dos fótons agora. Isso corresponde ao cálculo na mecânica quântica? Na equação abaixo, quando adicionamos uma medida após o primeiro divisor, forçamos um colapso na superposição. O resultado final será diferente de um sem o detector adicional e corresponderá ao resultado experimental.

A natureza nos diz que, se você souber qual o caminho do fóton, os dois detectores detectarão metade dos fótons. De fato, podemos conseguir isso com apenas um detector em apenas um dos caminhos. Se nenhuma medição for feita antes dos dois detectores, todos os fótons terminarão no detector D₀ se o fóton estiver preparado para ser | 0⟩. Novamente, a intuição nos leva a uma conclusão errada, enquanto as equações quânticas permanecem confiáveis.

Esse fenômeno tem uma implicação crítica. A medição adicional destrói a interferência original em nosso exemplo. O estado de um sistema é alterado após uma medição. Essa é uma das principais motivações por trás da criptografia quântica. Você pode criar um algoritmo para que, se um hacker interceptar (medir) a mensagem entre você e o remetente, você possa detectar essa intrusão, independentemente de quão suave seja a medição. Porque o padrão da medida será diferente se for interceptado. O teorema da não-clonagem na mecânica quântica afirma que não se pode duplicar exatamente um estado quântico. Portanto, o hacker não pode duplicar e reenviar a mensagem original também.

Além da simulação quântica

Se você é físico, pode tirar proveito do comportamento de interferência nos portões quânticos para simular a mesma interferência nos mundos atômicos. Os métodos clássicos trabalham com a teoria da probabilidade com valores maiores ou iguais a zero. Pressupõe independência que não é verdadeira em experimentos.

O mecanismo quântico alega que este modelo está errado e introduz um modelo com números complexos e negativos. Em vez de usar a teoria da probabilidade, ela usa interferência para modelar o problema.

Então, o que isso traz para os não físicos? A interferência pode ser tratada como o mesmo mecanismo de um operador unitário. Pode ser implementado facilmente em um computador quântico. Matematicamente, o operador unitário é uma matriz. À medida que o número de qubits aumenta, obtemos um crescimento exponencial de coeficientes com os quais podemos brincar. Esse operador unitário (interferência no olho do físico) nos permite manipular todos esses coeficientes em uma única operação que abre as portas para grandes manipulações de dados.

Emaranhado

Em geral, os cientistas acreditam que, sem emaranhamento, algoritmos quânticos não podem mostrar supremacia sobre algoritmos clássicos. Infelizmente, não entendemos bem os motivos e, portanto, não sabemos como adaptar um algoritmo para aproveitar todo o seu potencial. É por isso que o entrelaçamento é freqüentemente mencionado ao introduzir a computação quântica, mas não muito depois. Por esse motivo, explicaremos o que é emaranhamento nesta seção. Espero que você seja o cientista para quebrar o segredo.

Considere a superposição de um 2-qubits.

onde | 10> significa que duas partículas estão em uma rotação para baixo e para cima, respectivamente.

Considere o seguinte estado composto:

Podemos dividir o estado composto novamente em dois estados individuais como,

Não podemos porque exige:

A mecânica quântica demonstra um conceito não intuitivo. Na mecânica clássica, acreditamos que a compreensão de todo o sistema pode ser feita entendendo bem cada subcomponente. Mas na mecânica quântica,

Como mostrado anteriormente, podemos modelar o estado composto e fazer previsões de medidas perfeitamente.

Mas não podemos descrevê-lo ou compreendê-lo como dois componentes independentes.

Eu imagino esse cenário como um casal casado há 50 anos. Eles sempre concordam com o que fazer, mas você não consegue encontrar as respostas quando as trata como pessoas separadas. Este é um cenário excessivamente simplificado. Existem muitos estados de emaranhamento possíveis

e será muito mais difícil descrevê-los quando o número de qubits aumentar. Ao executar operações quânticas, sabemos como os componentes são correlacionados (emaranhados). Porém, antes de qualquer medição, os valores exatos permanecem abertos. O emaranhamento produz correlações muito mais ricas e provavelmente muito mais difíceis para um algoritmo clássico imitar com eficiência.

Próximo

Agora, sabemos como manipular qubits com operações unitárias. Mas para os interessados ​​em algoritmos quânticos, devemos saber primeiro qual é a limitação. Caso contrário, você pode ignorar o que é difícil na computação quântica. Mas para quem quer saber mais sobre o portão quântico primeiro, você pode ler o segundo artigo antes do primeiro.